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小议集合的子集个数判断

浏览27次 时间:2013年12月02日 14:06

钱丽丽

(无锡机电高等职业技术学校,江苏  无锡  214028  

 

  要: 在中学数学有关集合部分的教学中,学生对集合子集的概念不难掌握,但对于含有四个以上元素的集合如何求出全部子集却不得要领,难找规律,经常出现遗漏,而且不知如何检查补足。为此,本文介绍集合论中的一个基本定理用以检查所求子集是否还有遗漏,并结合本文教学实践提出集合所有子集的一种求法,以供教学参考及讨论。

关键词:集合;子集;二项式定理;排列组合

中图分类号:G633    文献标识码:A        文章编号:

 

下面我们通过例题来进一步讨论集合子集的求法。

【例1】已知集合A={a ,b,c},求A的子集个数

解法一:A的所有子集分别为 {a }{ b }{c}{a ,b }{a,c}{ b,c}{a ,b,c}8个。

解法二:用二项式定理。因为A中的元素是3,故A的子集分为空集,单元素集,两个元素组成的集合,三元素组成的集合。它们分别有 ,、 个,所以该集合的子集个数共有 + + + = =8个。此法可以推广到有n个元素的集合的子集个数有 个。即一个含有n个元素的有限集合其子集个数为2n次方。相应的,真子集的个数( -1)个,非空子集的个数为( -1)个,非空真子集的个数为( -2)个。

评析:显然,用解法二的方法来求集合的子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数更加的简便,也不容易漏解。集合的子集个数求出了,其他三种子集的求解自然不在话下。所以下面仅讨论集合子集个数的求解。

【例2】已知定义集合A={1,2,3},B={1,2},定义集合A,B之间的运算"*" : A*B= ,求集合A*B的所有子集的个数。

解:由题意可知,集合A*B中的元素是由从集合A={1,2,3}中取一个元素和从集合B={1,2}中取一个元素,然后求他们的和构成,这样的和共有4种: 2345。即集合A*B={2,3,4,5},根据一个含有n个元素的集合其子集个数为2n次方这一性质,可得:集合A*B的所有子集的个数为  =16

【例:3】已知{23} A {23456},求这样的集合A有几个?

解:显然集合A中必须含有2, 3这两个元素,此题就相当于是求集合{4,5,6}的子集个数,而{4,5,6}的子集个数有 =8个,所以A8个。

评析:做这一类题首先是找出问题的实质,先找出集合中始终含有的元素,然后再重新讨论有用的其他元素。从中我们也可以得出这样的结论:若B A CB中的元素个数为m个,C中的元素个数为nn>m)个,则集合A的子集个数为 个。

若【例3】中的集合{23}改为空集,即“已知 ,求集合A的个数”就相当于是“求集合{23456}的子集个数”。可见【例1】和【例3】有想通之处。

4:已知集合M={1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合P满足 ,且若a P,则10-a P,则这样的P有几个?

解:根据题目的要求,我们知道如果1 P,则9 P,因此19要么同时在P中,要么同时不能在P中,同理,283746要么都在P中,要么都不在。所以在各对数中抽出一个数作为代表,组成一个新的集合{1,2,3,4,5},于是上述问题就等价于求集合{1,2,3,4,5}的子集个数,所以满足条件的P =32个。

评析:解决这类问题的关键,是条件转化,根据已知条件把我们陌生的问题转换为我们熟悉的题型,这样问题很快就会迎刃而解了。

在求集合子集的个数时,我们几乎都需要用到“一个含有n个元素的有限集合其子集个数为2n次方”这个基本定理,在上文中我们采用了排列组合与二项式定理相结合的方法,给出了简易证明。除了上述方法,我们还可以这样考虑:假设集合A={a1,a2......an}A中有n个元素,每一个元素均有2种选择,可以是子集的元素,也可以不是子集的元素,根据分步计数原理,该集合子集的个数可以是 个,其中n个元素都不是子集的元素时,子集为空集,当n个元素都是子集的元素时,该子集即是{a1,a2......an}

以上几个例题是集合子集求解过程中比较常见的,虽然有些题型看似比较陌生,但万变不离其宗。这就需要我们在解题过程中引导学生大胆探求,用于发现,使学生对所学的知识得以升华和强化,从而培养严密的思维方法和灵活的解题技巧,提高学生的创造力。当然必要的数学知识和方法是我们得出正确结论的保证。有了这种保证,无论问题以何种形式出现,我们都可以剥去伪装,正确求解。

 

 

参考文献

[1]中学数学研究[M].华南师范大学,2012.

[2]全日制普通高级中学教科书(必修)数学第一册[M].人民教育出版社,2006.

 

 

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