小议集合的子集个数判断
钱丽丽
摘 要: 在中学数学有关集合部分的教学中,学生对集合子集的概念不难掌握,但对于含有四个以上元素的集合如何求出全部子集却不得要领,难找规律,经常出现遗漏,而且不知如何检查补足。为此,本文介绍集合论中的一个基本定理用以检查所求子集是否还有遗漏,并结合本文教学实践提出集合所有子集的一种求法,以供教学参考及讨论。
关键词:集合;子集;二项式定理;排列组合
中图分类号:G633 文献标识码:A 文章编号:
下面我们通过例题来进一步讨论集合子集的求法。
【例1】已知集合A={a ,b,c},求A的子集个数
解法一:A的所有子集分别为
解法二:用二项式定理。因为A中的元素是3,故A的子集分为空集,单元素集,两个元素组成的集合,三元素组成的集合。它们分别有
评析:显然,用解法二的方法来求集合的子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数更加的简便,也不容易漏解。集合的子集个数求出了,其他三种子集的求解自然不在话下。所以下面仅讨论集合子集个数的求解。
【例2】已知定义集合A={1,2,3},B={1,2},定义集合A,B之间的运算"*" : A*B=
解:由题意可知,集合A*B中的元素是由从集合A={1,2,3}中取一个元素和从集合B={1,2}中取一个元素,然后求他们的和构成,这样的和共有4种: 2,3,4,5。即集合A*B={2,3,4,5},根据“一个含有n个元素的集合其子集个数为2的n次方”这一性质,可得:集合A*B的所有子集的个数为
【例:3】已知{2,3}
解:显然集合A中必须含有2, 3这两个元素,此题就相当于是求集合{4,5,6}的子集个数,而{4,5,6}的子集个数有
评析:做这一类题首先是找出问题的实质,先找出集合中始终含有的元素,然后再重新讨论有用的其他元素。从中我们也可以得出这样的结论:若B
若【例3】中的集合{2,3}改为空集,即“已知
例4:已知集合M={1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合P满足
解:根据题目的要求,我们知道如果1
评析:解决这类问题的关键,是条件转化,根据已知条件把我们陌生的问题转换为我们熟悉的题型,这样问题很快就会迎刃而解了。
在求集合子集的个数时,我们几乎都需要用到“一个含有n个元素的有限集合其子集个数为2的n次方”这个基本定理,在上文中我们采用了排列组合与二项式定理相结合的方法,给出了简易证明。除了上述方法,我们还可以这样考虑:假设集合A={a1,a2......an},A中有n个元素,每一个元素均有2种选择,可以是子集的元素,也可以不是子集的元素,根据分步计数原理,该集合子集的个数可以是
以上几个例题是集合子集求解过程中比较常见的,虽然有些题型看似比较陌生,但万变不离其宗。这就需要我们在解题过程中引导学生大胆探求,用于发现,使学生对所学的知识得以升华和强化,从而培养严密的思维方法和灵活的解题技巧,提高学生的创造力。当然必要的数学知识和方法是我们得出正确结论的保证。有了这种保证,无论问题以何种形式出现,我们都可以剥去伪装,正确求解。
参考文献
[1]中学数学研究[M].华南师范大学,2012.
[2]全日制普通高级中学教科书(必修)数学第一册[M].人民教育出版社,2006.